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目次

検定過去問対策

四則演算とは？

①四則演算で計算することを、それぞれ［足し算，引き算，掛け算，割り算］と呼ぶ

②加減乗除で計算することを、それぞれ［加算，減算，乗算，除算］と呼ぶ

四則演算の優先順位

掛け算と割り算が優先される
四則演算の中でも括弧の付いている演算が最優先である
なぜ掛け算と割り算が優先されるようになったのか？
このサイトの説明を引用すると

掛け算優先の理由（引用部分）
掛け算を「足し算をまとめて書いたもの」と捉えたい状況がよくあって、
その状況を式に表すのに簡単になるのが、掛け算優先ルールだから説です。

例えば、9個のアメを4人で2個ずつ分け合うことを考えましょう。
掛け算を使わずにこの状況を表すと、
$9−2−2−2−2=1$です。これは面倒くさいので、
$2×4=2+2+2+2$という掛け算記号を導入すると、
$9−2×4=1$と表せます。

もし、足し算引き算優先のルールで同一の式を書こうとすると、
$9−(2×4)=1$とカッコを必要とすることになります。
「$2×4$という式が登場したら、ハナからそこは4回足してまとめた結果8ですよ」
と決めておくことで、カッコを使わない簡単な式で表すことができています。

割り算優先の理由（補足）
割り算を「引き算をまとめて書いたもの」と捉えたい状況がよくあって、
その状況を式に表すのに簡単になるのが、割り算優先ルールだから説です。

例えば、9個のアメを4人で2個ずつ分け合って1人だけ3個になる場合を考えましょう。
9個は1個と8個に分けられるので、割り算を使わずにこの状況を表すと、
$1+8-2-2-2=3$です。これは面倒くさいので、
$8÷4=8-2-2-2$という割り算記号を導入すると、
$1+8÷4=3$と表せます。

もし、足し算引き算優先のルールで同一の式を書こうとすると、
$1+(8÷4)=3$とカッコを必要とすることになります。
「$8÷4$という式が登場したら、8から結果を$4-1$回引いてまとめた結果2ですよ」
と決めておくことで、カッコを使わない簡単な式で表すことができています。

優先順位の歴史的な理由

足し算と引き算が優先される世界を想像してみる

足し引きしたものを掛け算する仕組みの世界が存在するとして、それはどのようなものだろうか？

現在わたし達が生きている世界は、以下のような仕組みで動いている

四則演算の法則

物の個数で説明できる

交換法則：$3+7=7+3$、$2×4=4×2$
というように先頭の数と位置を、優先順位に従って交換できるという法則
＊足し算や掛け算については先頭と交換可能
＊先頭以外なら、引き算や割り算も交換可能

結合法則：$(2+3)+5=2+(3+5)$、$(3×6)×2=3×(6×2)$
というように括弧をどこにつけても計算結果は同じという法則
＊足し算や掛け算の交換法則があるから
＊引き算や割り算の結合法則は適用できない
↑引かれる数を引くのと差を引くのとでは計算の意味が異なるから
↑割られる数で割るのと商で割るのとでは計算の意味が異なるから

分配法則：$3×(5+2)=3×5+3×2$
というように括弧を外せるという法則
○優先順位の高い演算を低い演算に対して分配できる
・［掛け算や割り算］を［足し算や引き算］に分配することは可能
＊この法則の逆の操作では、共通する数を見つけてまとめることができる

✕優先順位の同じ演算での分配は余分な足し算や掛け算をするので間違いである
・［足し算や引き算］を［足し算や引き算］に分配したり［掛け算や割り算］を［掛け算や割り算］に分配するのは間違い
✕優先順位の低い演算から高い演算への分配は優先順位に反するので間違いである
・［足し算や引き算］を［掛け算や割り算］に分配するのは間違い

数と計算

10進位取り記数法

＊詳しくは高校の数学Aで学べる

筆算（ひっさん）

説明を簡略化するため、加減乗除の呼称を使っています

概数

最大公約数と最小公倍数

予備知識

約数：ある数を割り切れる整数
素数：1と自身の数以外に約数を持たない数
＊約数を2個だけ持つ数
公約数：2つ以上の整数に共通する約数
公倍数：2つ以上の整数に共通する倍数
最大公約数：公約数の中で最も大きい値
最小公倍数：公倍数の中で最も小さい値

ある2つの数について調べる場合

ある数は整数か小数か問わない

最大公約数
すだれ算をつかって求める
＊すだれ算で公約数を探すときには小さい素数から始めることで、素数の倍数で探す手間を省いている

最小公倍数
すだれ算をつかって求める
ある数は最大公約数で割りきれて商が求まる
それぞれの商を掛け合わせて商の最小公倍数を求め、さらに最大公約数を掛け算して最小公倍数を求める

なぜ最大公倍数と最小公約数は求めないの？

公約数をすべて求める
1と最大公約数を含めたすべての公約数は、すだれ算で求めた公約数の掛け算の組み合わせで求まる

ある3つの数について調べる場合

この場合には2種類のすだれ算がある
①2つの数と同様にすだれ算で3つの数の公約数を見つけていくことで最大公約数が求まる
②3つの数の公約数以外に2つの数の公約数が生じるため変則すだれ算をつかう
＊変則すだれ算では公約数で割れない数について、そのまま下に降ろす

＊この例で、3つの数の公約数はひとつもない🙇
＊この例で、3つの数の最大公約数は1だけ

最大公約数
①すだれ算をつかって求める
②変則すだれ算をつかって求めた3つの数の公約数を掛け算して求める
＊2つの数の公約数は除外する

最小公倍数
①すだれ算をつかって求める
②変則すだれ算をつかって求める
＊3つの数で変則すだれ算を使う場合について、詳しい解説はこちらの記事でまとめています。

公約数をすべて求める
1と最大公約数を含めたすべての公約数は
①すだれ算で求めた3つの数の公約数の掛け算の組み合わせで求まる
②変則すだれ算で求めた3つの数の公約数の掛け算の組み合わせで求まる

場合の数

並べ方の問題

重複を許す並びが何通りあるか樹形図を書いて調べる

組み合わせ方の問題

重複を許さない組が何通りあるか
①樹形図を書いて調べる
②表を書いて◯の数を調べる
③図を書いて角同士を結ぶ線の数を調べる

:::message alert
問題の出題形式によっては「並べ方」を「組み合わせ方」と表現する場合もあるので注意する
:::

集合算

分数

概要

ある品物を等分にしたときに1人あたり何個受け取ることができるかを明示したもの
［品物，個数］が別のものに置き換わっても同様である

各部の名称

通分

分母が異なる分数の足し算や引き算の時に、それぞれの分数の分母が最小公倍数となるように、分母と分子に同じ数を掛け算すること
＊1人あたりの個数をさらに等分して分母を揃える意味合いである

約分

分母と分子を共通の数字（公約数）で割って、分母をなるべく小さくすること
＊6個を8人で等分することは3個を4人で等分することと算数上は同じ意味である

見分け方

計算するときの注意点

分数全般

仮分数

帯分数

小数

足し算と引き算

掛け算

割り算

割合

比べる量が元の量の何倍か

百分率

歩合

比

線分図

速度

キハジの表を覚える

図形

図形の名称

多角形について

面積

反比例

体積

円について

角度

周長
①［内接正多角形周長＜円周＜外接正多角形周長］
②直径を1cmとしたとき円周が3.14cmである
＊円周率の根本的な理解には三平方の定理と三角関数の知識が必要である

面積

体積

展開図

合同

合同とは2つの図形の形と大きさが同じであることを言う

三角形の合同条件
①3辺の長さがそれそれ等しい
＊辺の長さがそれぞれ等しいとき各頂点の位置は辺の長さによって決まるため、図形が上下左右反転しようが合同である
＊なぜ三角形を最初に学ぶかと言えば、辺の組み合わせによって成立する図形として三角形が最小単位のものだから
②2辺とその間の角がそれぞれ等しい
＊この条件によって3つ目の辺の長さと頂点が決まるから
③1辺とその両端の角がそれぞれ等しい
＊この条件によって3つ目の頂点がきまるから

四角形の合同条件
対角線を引いて2つの三角形の合同条件を見るか下記条件を見る
①4辺と1角
②3辺と2角（3辺の間の角）
③2辺と3角

対称

単位

縮図と拡大図

ある図形を

ある図形同士が縮図と拡大図の関係性であり未知の辺の長さｘが与えられているとき
各辺の長さの比から［内項の積＝外項の積］を使って方程式を解くことでｘを求められる

データ分布

代表値

度数分布

  1. 計算過程では分数にする方が分かりやすいです。 ↩

  2. 問題文に記述された底面図形の公式に従って求めます。 ↩

  3. 先頭が0でない0〜9の数字列のことです。 ↩

  4. この意味での「点」は図形名詞。注意点や疑問点の「点」はメタ的名詞。小数点の「点」は記号名詞。 ↩

  5. 正方形を含みます。 ↩

  6. 疑問点（対角線が直角に交わる理由）を確かめるには、中2数学の［二等辺三角形の性質］を学ぶ必要があります。ひとまずの理解として、正方形を対角線上で縦横に引き延ばしても、その図形は対角線で4つ折りにすると頂点が重なることから、疑問点を確かめるのが分かりやすいです。 ↩

  7. 図面や地図の世界では「縮図」という語が歴史的に根付いており、算数でも「縮図」と呼ぶようになりました。 ↩