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🔰はじめに

目次

【数学は何の役に立つか？中3数学までで得られる知識からの回答】

◆現実世界に存在する各種図形について深掘る
・三平方の定理
↑証明するために相似の知識が必要である
・相似
↑相似を扱うために平方根の知識が必要である
↑平方根を扱うために開平法の知識が必要である
↑開平法を扱うために式の整理の知識が必要である

◆現実世界に通用する近似値や真の値を求める
・2次方程式
↑2次方程式を扱うために平方根の知識が必要である

◆近似値
①利得・損益の計算
:::
・利益関数P(x)は二次関数になることが多く、P(x)の最大値を求める
・例えば変動費を工場稼働にかかる電気代とすれば、人間の疲労により生産時間が増加するため稼働時間が増加するので、それをx²に近似している。x²の場合、疲労の変化具合が放物線状であると見立てている。固定費を材料費とする
:::
・例：「ある商品1個の売価を10円、固定費4円とすると、利益が最大になる個数xは？」
・式：利益関数：P(x) = R(x) - C(x)
・・売上関数：R(x) = 10x
・・コスト関数：C(x) = x² + 4x（変動費はx²）
・・損益分岐点：R(x) = C(x)
・・最大利益：頂点

◆真の値
①落下運動の時間や高さ
・例：「高さhメートルから物を落としたら、t秒後に地面に届く。このhを求めよ」
・式：h = ½gt² → これを整理すると二次方程式になる
・・距離 = 平均速度 × 時間
・・平均速度 = (初速 + 最終速度) ÷ 2
・・重力加速度 (g)：ニュートンの万有引力定数と運動方程式から導出できる
・・加速度：ガリレオ・ガリレイが斜面での物体落下の実験により発見したもの

②ゲームの当たり判定
:::
・接触するポイント（= 交点）を見つけて、当たり判定を作る
:::
・例：「プレイヤーがジャンプ、敵が直線移動しているときの両者が衝突する位置は？」
・変数：［x：時間，v₀：初速，y₀：初期高さ］
・式：-½gx² + v₀x + y₀ = 2x + 3
・・プレイヤーがジャンプ：y = -½gx² + v₀x + y₀
・・敵が直線的に動く：y = 2x + 3
・解説
・①プレイヤーがx秒間、初速でジャンプする
・②①に重力が影響するので負の力が働く
・③さらに初期高さも影響する
＊①③は②2次関数の放物線を平行移動させる
＊［重力加速度に時間を乗算した速さ］と［時間］によって［距離］が変化するので、この速さの面積（三角形）を求めるから½が出てくる

③最適な寸法・最大値の設計
・例：「周囲が一定の長さの柵で囲える、最も広い長方形は？」
・手順：条件式から2次方程式を作り、最大値をとるxを解く
・①ある長方形の周長をP、横をx、縦をyとした場合にyはPとxで表せる
・②すなわち面積はxの2次関数で表せて、グラフで言うと上に凸になる
・③したがって、放物線の頂点が面積の最大値になる
・④頂点の座標がxの最大値であり、yはこの値と同値になるので、この図形は正方形である

④物流センターでの作業量
・例：「作業ごとに荷物の数が増えるとき、何工程で終わるか？」
・問題の詳細
・①物流センターでは、午前のトラックに積む荷物を順番に仕分けしていく
・②作業者が仕事に慣れるにしたがって、1回の工程でさばける荷物の数を増やしていく
・・たとえば…
・・①1回目は1個だけ
・・②2回目は2個
・・③3回目は3個
・・…と、毎回1個ずつ多く処理できるようになる
・③荷物は全部で100個あるとき、何回目の作業までで完了できるか？
↓
:::
・自然数の和の公式を満たすnを解く
:::
・例：「自然数の和Sが100になるnは？」
・式：S = ½ × n(n + 1)

⑤原価から利益見込みの定価をつけ定価を割引して販売したとき
:::
・定価は1次式となりその割引額が2次式となる
:::
・例：原価400円の品物に2x割の利益を見込んで定価をつけた。売り出しの日に定価のx割引で売った。利益が48円だった。xの値を求めよ
・式：400 × {(10 + 2x) / 10} × {(10 - x ) / 10 } = 448

【数の分類】

◆概要
:::
・［整数，分数，小数］の正負の違いをまとめて［正の数，負の数］と呼ぶ
:::
・実数：数直線上に書ける数
・・有理数：ほとんどの実数
・・・整数：0～9の数字を最小1桁～最大複数桁まで横に連ねたもの
・・・・原点：0
・・・・正の整数：自然数
・・・・負の整数
・・↑偶数と奇数の分類がある
・・・分数：整数同様に正負の違いあり
・・・小数：整数同様に正負の違いあり
・・・・循環小数：文字を使って式を作り整理すると分数で表せる
・・・↑繰り返す数の上部に・を付けても表せる
・・・・・無限小数：小数点以下に続く数字に限りがない
・・・・・有限小数：小数点以下に続く数字に限りがある
・・・・↑末尾に0を付け足し続けるなら循環小数に位置付けられる
・・無理数：非循環小数のことを有理数と大別して呼ぶ
・・・小数
・・・・非循環小数：文字を使って式を作り整理できないので分数にできない

◆偶数と奇数
:::
・省略して「偶奇」と呼ぶ
・偶奇共にnで表せるが理解のためにmもつかう
・除算は割り切れるもの限定とする
:::

加減乗除 組合せ 結果 式と説明
加算 偶数 + 偶数 偶数 $2n + 2m = 2(n + m)$
〃 偶数 + 奇数 奇数 $2n + (2m - 1) = 2(n + m) - 1$
〃 奇数 + 奇数 偶数 $(2n - 1) + (2m - 1) = 2(n + m - 1)$
減算 偶数 - 偶数 偶数 $2n - 2m = 2(n - m)$
〃 偶数 - 奇数 奇数 $2n - (2m - 1) = 2(n - m + 1) - 1$
〃 奇数 - 偶数 奇数 $(2n - 1) - 2m = 2(n - m) - 1$
〃 奇数 - 奇数 偶数 $(2n - 1) - (2m - 1) = 2(n - m)$
乗算 偶数 × 偶数 偶数 $(2n)(2m) = 4nm = 2(2nm)$
〃 偶数 × 奇数 偶数 $(2n)(2m - 1) = 2(2nm - n)$
〃 奇数 × 奇数 奇数 $(2n - 1)(2m - 1) = 2(2nm - n - m) + 1$
除算 偶数 ÷ 偶数 整数 $\frac{2n}{2m}$ 例えば除数が2なら商は偶奇両方ありうる
〃 偶数 ÷ 奇数 偶数 $\frac{2(2nm - n)}{2m - 1}$ 乗算の性質から
〃 奇数 ÷ 偶数 分数または小数 $\frac{2n - 1}{2m}$ 奇数は2の倍数に1加減した形だから
〃 奇数 ÷ 奇数 奇数 $\frac{2(2nm - n - m) + 1}{2m - 1}$ 乗算の性質から

【多項式】

◆式の展開
:::
・文字式で分配法則を扱うことを「式の展開」と呼ぶ
・括弧3つの展開でも2つの場合と同様に展開できる
・和と和の積を展開する例
・・(a + 2)(1 + 1) = 2 × a + 2 × 2
・・①共通因数の2を分配法則で乗算していく形である
・・②文字式上ではこの共通因数を意図的に分割して記述する
・和と和の積
・・(a + 2)(b + 1) = a(b + 1) + 2(b + 1) = ab + a + 2b + 2
:::
・展開の公式
・・先頭が同じ式：(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
・・・2乗の式：(x + a)² = (x + a)(x + a) = x² + 2ax + a²
・・・和と差の積： (x + a)(x - a) = x² - a²

◆因数分解
:::
・展開の手順と逆の操作のことで共通因数でくくること
・条件を満たす係数と定数項を探して積の中身を求める
・第1項の係数が何かの2乗になっていれば分解できる
:::
・因数分解の公式
・・先頭が同じ式：x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
・・・2乗の式：x² + 2ax + a² = (x + a)²
・・・和と差の積：x² - a² = (x + a)(x - a)

◆因数分解の工夫
・共通因数をくくりだす
・一旦展開して因数分解する
・置換をつかう
・・4項を2項と2項に分ける
・・4項を3項と1項に分ける

・因数の組を見つける
・①右辺にあたる積を素因数分解する
・・解が［整数，分数，小数］で指定されている場合
・・②連立方程式で解く前提から①を偶奇の加減乗除に当てはめてみる
・・③①②より問題の条件に合わせて因数の組の偶奇を絞る

◆式の整理
・並べる：式の展開を用いて式を可能な限り簡単な形で次数の高い項順に並べること
・まとめる：因数分解を用いて式を可能な限り簡単な積の形でまとめること

【平方根】

◆概要
:::
・正方形の辺の長さを求めることができる
・2次方程式の解の公式を導出する
・平方根とはある数が何らかの数の2乗で表される場合の「何らかの数」にあたるもの
・分母の有理化とは分母にある平方根を分母と分子に乗算し分母の平方根をなくすこと
・根号「ルート」とは平方根の記号もしくは全体を意味する
↑以降は混同を防ぐためにルート記号と平方根全体は区別して呼び扱う
:::
・単項式の関係式導出
・①「a²の平方根は±a」→ √a² = a
・②「aの平方根は±√a」→ √a
・③②より→ (√a)² = a
・④①③より→ √a² = a = (√a)²
・制約
・①正の数の平方根：正と負の2つあり絶対値は等しい
・②0の平方根：0
・③負の数の平方根：存在しない←ルートの中身は必ず正の数だから
・↑数Ⅱで複素数として扱うことになる
・ルート
・・ルートを使えば平方根が整数にならないような場合でも表せる
・・ルートの中の文字部分を「ルートの中身」と呼ぶ
・・基本的にルートの中身として扱えるのは［非負の数］（制約①のうち正の平方根と②）のみだが、ルートの外に符号が付くなら［負の数］（制約①のうち負の平方根）も扱える
・↑1525年のドイツを含む北方ルネサンスは拡散発展状態だったため、同年に刊行された『Die Coss』は実務分野への応用目的も兼ねた代数学の実用書となり、初登場の記述となったルート記号も数学的道具として扱われた

◆平方根の大小と理屈
・a, bが正の数でa < bならば正方形の1辺と同じ理屈で√a < √b
・開閉法とは
・・例えば5桁の数の平方根が100a + 10b + cであることを利用して筆算形式で表したもの
・二分法とは
・・無理数の場合は近似値を区間で二分する
・［x：整数，y：平方根］となる平方根のグラフはなだらかに増加する曲線になる

◆平方根の計算
・多項式の関係式導出
・①(√a)² × (√b)² = ab：それぞれ2乗して交換法則を用いる
・②√a × √b = √ab：①より各項を平方根にする
・③(√a × √b)² = ab：②より両辺を2乗する
・④√a ÷ √b = √a/b：左辺第2項の除数を乗数に変換すれば②と同じ理屈になる
＊②のようにabの平方根は√a × √bであり③の関係式を導ける

・計算手順
・①ルートの中身を素因数分解してルートの外に出せるものがないか探す
・②分母に平方根があれば有理化を行う
・③乗除を含む式ならばルート前の数字を係数として扱い計算する
・④加減を含む式ならば式の整理をする
＊有理化を行う理由：計算の手間を省ける場合があるから

【2次方程式】

◆概要
・2次方程式：xの2乗の項を含む方程式
・そもそも2次方程式とは？
・①分かりやすくy = x²を例にすると
・・xが増加するごとにyは2乗ずつ増加する
・②それぞれのx座標を1ずつ区切ってみた場合
・・その区間のxとyは比例の関係になっている
・③それぞれの区間の傾きを順番に見ていった場合、x[1,2,3,…,n]、y[1,4,9,…,n²]
・・yを素因数分解すると「xをm倍すればyはm²倍になる」のが分かる
・・区間と傾きの関係は常に一定でn² - (n - 1)² = 2n - 1の奇数となり、これが2次方程式の実体である
・④区間をより小さくして0~1の区間を⅒倍で見た場合
・・③同様に区間と傾きの関係は一定である
・⑤④の倍率をさらに上げていくと
・・④同様になるのでグラフは曲線になる

◆解き方
・①因数分解を利用する
・・「A × B = 0となるのはどんな場合か？」を求めれば良く、AかBのどちらかが0である
・②平方根の考え方を使う
・・［(xの式)² = 数字］の形であれば平方根を求められる
・③解の公式を使う
・・各係数と定数項を公式に代入する
・↑ax² + bx + c = 0 → (x + b/2a)² = (b² - 4ac) ÷ 4a²のように変形し［右辺が文字式の②］をxについて解き導く

【2乗に比例する関数】

◆概要
・y = ax²：yがxの2乗に比例するもので、y軸について対称である
・a < 0のときグラフは下に開き、a > 0のグラフとx軸について対象である
・aの絶対値が小さいほどグラフの開きが大きい
・楕円：円を対象の軸上に引き伸ばしたもの
・放物線：楕円の上もしくは下半分のような形のグラフのことで、下に尖っているものを下に凸、上に尖っているものを上に凸と呼ぶ
・放物線の頂点：yの値が最大もしくは最小となる座標の地点で、放物線の尖っている先端部分の座標
↑2乗に比例する関数の場合には原点が放物線の頂点である
＊平方根のグラフのx軸とy軸を入れ替えた形になる

◆変域や直線との関係
・変化の割合：［比例反比例，1次関数，2乗に比例する関数］すべて同じ式で表す
・・［反比例する関数］と［2乗に比例する関数］の変化の割合は一定にはならない
・変域が原点をまたぐ場合は変域の同じ直線の切片の正負から放物線の上下を判断できる
・絶対値のより大きいx座標に対応するy座標が変域の最大値である
・放物線と直線の関係には3通りある［2点で交わる，1点で接する，交わらない］

◆2次関数（高校数学）
・2次関数：2次方程式をyについての式としたもので2乗に比例する関数に限らない
・平行移動：2次関数の放物線の頂点に対する座標のずれ具合を示す
↑解の公式の導出過程と関連付けると放物線の頂点は平行移動した先の(-b/2a, -(b² - 4ac) ÷ 4a²)となる
↑2乗に比例する関数と2次関数の放物線を見比べながら平行移動すれば明らかである

【相似】

◆単語
・頂角：頂点を角度に着目して説明するときの言い方
↑二等辺三角形での扱いから、より広範囲に適用させた形
・成す角：頂点を頂角のできる様に主眼を置いて説明するときの言い方

◆記号
・相似：∽
・弧：⌒

◆相似とは？
・相似：ある2つの図形が縮図と拡大図の関係であること
・線分比：対応する辺の長さの比
・相似比：すべての線分比が同じで相似な場合の呼び方
・相似の中心：相似な図形の対応する点同士を結ぶ直線の交点が［回転の中心］もしくは［延長線の交点］であるときの呼び方
・相似の位置：相似の中心に対する相対的な表現
↑相似の中心が作れるような位置に調整することも含む

◆相似な図形
👇️相似の中心があるとき以下の相似条件を適用できる
①対応する辺の長さの比がすべて等しい
②対応する角の大きさがそれぞれ等しい
・①のみで
・・相似確定
・・・三角形，長方形，正多角形
・・相似でない
・・・四角形以降の多角形：角度の違いで図形が変わる
・②のみで
・・相似確定
・・・三角形，正多角形
・・相似でない
・・・四角形以降の多角形：縦横に伸縮できる
↑(n - 1)個の角が等しければ②は自明

◆三角形の相似条件
:::
・相似で言う組とは対応する部分のこと
:::
・３組の辺の比がすべて等しい
・２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
＊交差と平行の定義より相似条件②が導けるから
・２組の角がそれぞれ等しい
＊三角形の性質より相似条件②が導けるから

◆三角形と比の定理
🪧△ABCの辺AB,AC上の点をそれぞれD, EとするときDE//BCなら
①AD:AB = AE:AC = DE:BC
②①よりAD:DB = AE:EC
③②よりAD:AE = DB:EC
＊①②は平行線の定義と三角形の相似条件から導ける
＊③は比の値から導ける
＊各点が各辺の延長線上にあっても成立する
＊逆も成立する

◆中点連結定理
🪧△ABCの2辺AB, ACの中点をそれぞれM, Nとすると
・MN//BC
・MN = ½BC
＊平行線の定義と三角形の相似条件から導ける

・関連する単語
・・中線：頂点から対辺の中点を結んだ線
・・重心：三角形のすべての中線が交わる点
・↑重心の性質は中点連結定理を使って証明できる

◆平行線と比の定理
🪧平行な3つの直線p, q, rが直線lとそれぞれA, B, Cで交わり、直線mとそれぞれD, E, Fで交わる場合
・三角形と比の定理が適用できる
＊点Aを通り直線mに平行な直線を引けば、平行四辺形の定義と三角形の相似条件と比の値から導ける
・底辺にあたる部分の比は変動する
＊台形の上底下底の比が変動するのは、三角形を両側に平行移動すると見れるから

◆角の二等分線と線分の比
・△ABCで∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとするとAB:AC = BD:DCとなる
①ADに平行でBもしくはCを通る直線を引く
②三角形が外角を成すような延長線との交点をEとする
③底角が等しいことから二等辺三角形があることが分かる
④三角形と比の定理から上記が導ける

◆図形の面積比と体積比
:::
・［三角形，四角形，円］は相似の意味合いで見れば成り立ちは同じである
:::
🪧相似比がa:bの相似な図形の場合
・長さの比はa : b
↑［辺，高さ，周］など
・面積比はa² : b²
↑例えば三角形なら底辺と高さが相似比の対象となるから
・体積比はa³ : b³

【三平方の定理】

◆概要
・a² + b² = c²
↑直角三角形の斜辺をc、他の辺をa, bとする
・直角三角形の直角頂点から斜辺に垂線を引き相似な三角形を作り面積比から証明できる
↑他にも複数の証明方法がある

◇三平方の定理の逆
・最も長い辺をcとしてa² + b² = c²が成り立つとき、三角形は直角三角形である

◆特別な直角三角形
👇️角度の関係より三平方の定理を用いると3辺の比は以下のようになる
・［1 : 1 : √2］：直角二等辺三角形
・［1 : 2 : √3］：正三角形を半分にした三角形
＊長さの昇順ではなく整数の昇順と平方根の順で記載する

◆直方体の対角線
・√(a² + b² + c²)

◆正四角錐の体積
①頂点と対角線を通る平面で切断
②底面の対角線の長さを求める
③対角線を底辺とする三角形の高さを求める
④底面の面積と③の高さから体積を求める

◆正四面体の体積
①底面の1辺の中点と頂点を通る平面で切断
↑［底面の1辺］は［上記の辺］に垂直で［切断平面は二等辺三角形］である
②二等辺三角形の面積を求める
③頂点から中点までの長さを求める
④②③より三角錐の体積を求める
⑤③は等しく②を底面とする2つの三角錐は合同なので④を2倍する
↑三角錐の合同は展開図から明らかとなる

◆座標での活用
①直角三角形を作る
②変化の割合で使うxとyの増加量を求める
③三平方の定理を適用する
④斜辺の長さが求まる

【円】

◆概要
・円：現実の測定値を仮想の近似値で表したもの
・・自然界の円：微細であっても未知の力が働く限り不完全円である
・・人間界の円：1周が360度なのは便宜上決めただけなので不完全円である
・↑角度が間違っていても同様の方法で近似値を求めるという構造のままである
・＊完全円を証明するには測定技術の上限がないため形而上学の分野になる

◆円周率の証明
👇️円周が直径 × 円周率であるのは内外接する正多角形の周長から以下の方法で円周率を近似することで証明できる
①三平方の定理のうち特別な三角形の性質をつかう
②三角関数をつかう ←高校の数学Ⅱの知識が必要

・①の仕組み
:::
・頂点を通る対称の軸が成す中心角が30度や45度の三角形を扱える必要がある
↑中心角が上記のようになる頂点の数は［120：三，60：六，30：十二，15：二十四］［90：四，45：八］
↑二十四や八以降も小数なら中心角を小さくしていける
:::
・外接円：内接する正多角形
・・半径は［中心から頂点までの距離］である
・・半径が各三角形の1辺になり中心から外周にあたる1辺に下ろした垂線が各三角形の高さになる
・内接円：外接する正多角形
・・半径は［中心から頂点までの距離］より小さい
・・半径が各三角形の高さになり外周にあたる1辺が接線の一部分になる
＊内接円や外接円は中1数学で定義済み
＊①は内外接で扱えて正多角形の1辺を小さく分割しながら関係性を維持しつつ成立する

【円周角と接線】

◆改めて円を定義する
・定点：動かないまま固定されている点
・円：定点Oから一定の距離rにある点の集合
・半径：距離rのこと
・中心点：上記のような定点Oのこと
＊中心と弦が作る三角形は必ず二等辺三角形

◆円周角の定理
・円周角：ある円周上の一点から、この点を含まない円周上の異なる二点へそれぞれ線分を引くとき、その二つの線分の成す角のこと
・中心角は円周角の2倍
↑同じ弧に対する円周角は全て等しい
↑円周角は弧の長さに比例する
＊証明はいかなる場合も円周角の点から中心点まで補助線を引き、二等辺三角形と外角の性質から導ける
・三角形の内側に中心角がある場合：鋭角
・三角形の外側に中心角がある場合で弦から円周角の点までの高さ方向に
・・中心角がある場合：鋭角
・・中心角がない場合：鈍角
・三角形の辺上に中心角がある場合：直角

◇円周角の定理の逆
・円周角が等しい場合にそれらを構成する点は同じ円周上にある

◆円の接線
・円外の点からその円に引いた2つの接線の長さは等しい
＊接線同士の交点と中心を結ぶ線分を斜辺とする直角三角形の他の1辺がそれぞれ等しいから

【円錐】

◆側面が扇形になる理由
①頂点からの底面円周の各点までの長さが等しいから
②側面を正方形から切り出す場合
・・対角線上の頂点から頂点に向かうとき切れ端の幅が最も大きくなるのが別対角線上であるから
・↑見取図で見たとき曲面を切り出していくことから明らかである
↑仮に側面が正方形であるとすると
・・頂点から底面円周の各点までの長さは異なり高さの線分は垂直ではない
・・底面の結び目と反対方向にあたる正方形の頂点部分が底面からはみ出てしまい底面が円ではない

◆底面が円になる理由
・側面が扇形であるから高さの線分と母線より三平方の定理で中心から円周上の各点までの長さが等しいことが分かるから

◆円錐の扇形の弧と底面の円周の対応
・扇形の弧の半分は円周の半分と対応している

【標本調査】

◆概要
・全数調査：集団の全てについて行う調査方法
・標本調査：集団の中から一部を取り出して調査し集団全体の傾向を推測する調査方法
・調査基準：絶対的な正確さを求めるなら全数、ある程度正確でよければ標本を扱う
・母集団：全数調査で扱う全数のこと
・母集団の大きさ：母集団に含まれるものの総個数
・母集団の平均値：母集団のデータの合計を母集団の大きさで除算したもの
・標本の大きさ：標本に含まれるものの総個数
・標本の平均値：標本のデータの合計を標本の大きさで除算したもの

◆抽出
:::
・母集団から標本を取り出すこと
:::
・無作為抽出：何も意図せず文字通り無作為に抽出するのではなく「母集団を正確に表現したい」という国語的な作為の意図を持って抽出すること
↑この抽出方法により母集団と標本は図形で表現するところの相似関係となる

◆相似
・関係式：$\frac a A = \frac b B$
↑問題を解く場合につかう

  対象個数 大きさ
母集団 a A
標本 b B

◆推定
:::
・標本の平均値から母集団の平均値を仮決めすること
:::
・より正確な推定の方法
①［標本の大きさ］をできる限り大きくする
②［標本を抽出する回数］をできる限り多くする
＊②は各回を合計して標本とみなすので結果的には①と同じである