【検定過去問の技能別対策】
◆計算
・平行線の間の角度を求める場合
↑直線が180°で円が360°であることを利用する
◆統計
・データ分布の問題が出された場合
↑解答は小数にする
◆表現
・文章問題から連立方程式をつくれと指示された場合
↑まずは問題文で与えられた数そのままでつくる
◆整理
・立方体をます目に従い転がして移動先の頂点記号を求める場合
↑開始地点直後と目標地点直前の位置で見取図を描く
・あるます目に対し縦横斜め重複せずに●が書ける位置を求める場合
↑先に書けない位置を洗い出す
【応用問題】
◆式の計算
・2桁の自然数の各位入替値の条件から式による説明を行う場合
↑各位の数値を変数で表して条件と照合する
・変数の比の条件式から式の値を求める場合
↑各変数に別の共通な変数を単位として乗算した値をもとに計算する
・2つの条件式から式の値を求める場合
↑式を変形して代入できる形にする
・元数が2以上の式の係数や指数を求める場合
↑各変数ごとに計算する
・分数の分母の変数を求める場合
↑式全体をその分母倍する
⚠️式による説明を行う場合
→→［文字で表す→計算する→結論を言う］のうち、まずは［文字で表す］の部分のみ式にする
⚠️ある問題の答えを求めるために変数を用意する場合
→→連続する数との明記がなければ変数は複数用意する
⚠️元数や次数の多い等式をある変数について解く場合
→→等式の変形を利用して最終的な答えを括弧の含まない形にする
◆連立方程式
・長さをもつ物体の速さを求めたい場合
↑物体の長さも距離に加減して計算する
・割合で増減後の配分を求める場合
↑元の数を変数とする
⚠️連立方程式がA=B=Cの形で与えられた場合
→→A=BとA=Cなど計算しやすい組み合わせにする
⚠️解は与えられているが係数は不明な場合
→→もとの式に解を代入して係数の連立方程式を解く
◆1次関数
・1次関数の連立方程式の傾きと切片を求める場合
↑点を代入して傾きと切片の連立方程式にする
・長方形上の動点を含む三角形の面積をグラフ化する場合
↑辺ごとに場合分けする
・1次関数の傾きとyの最大値または最小値を求める場合
↑変域からグラフを書いて切片と対応させる
・一直線上に並ぶ3点の座標を求める場合
↑変化の割合が一定であることを利用する
・グラフから三角形の面積を求める場合
↑軸に平行な辺や垂線を利用し分割や差引を行う
・正方形の頂点を内に含む2直線の交点の座標を求める場合
↑一方の頂点の変数について解き別の頂点の座標部分一致を利用する
・2つの三角形を成す3直線のうち1直線の傾きを求める場合
↑大きい三角形の面積の等しい部分を利用する
・ダイアグラムで1次関数の答えを求める場合
↑問題文以外に読み取れる情報に着目する
⚠️x座標とy座標のそれぞれの中点を求める場合
↑加算して半分にすることは過剰分と不足分の長さの平均を出すことである
⚠️頂点を通らない三角形を二等分する直線を求める場合
↑分割前の三角形の面積から逆算する
⚠️ある頂点を通る三角形を二等分する直線を求める場合
↑底辺の中点は底辺の両端について回転の中心である
⚠️傾きと頂点座標から平行四辺形を二等分する線を求める場合
↑平行四辺形の対角線の中点すなわち交点は回転の中心である
◆図形の証明
・合同を証明する場合
↑すべての式に理由が必要である
・頂点の角度を他の同位角や錯角から求める場合
↑頂点に対辺の平行線を引く
・正多角形の内角を求める場合
↑外角の和を利用する
・角の二等分線を含む図形からある角度を求める場合
↑［二等分された角度をおなじ文字，それ以外を別の文字］に置き換える
・ある合同な三角形を含む図形で垂直を証明する場合
↑合同な三角形の対応する角が等しいことと直線が180°であることを利用する
・ある合同な三角形を含む図形で内角の和を利用して辺が等しいことを証明する場合
↑合同な三角形がどの部分かに着目する
・折り返した長方形のある部分の三角形の合同を証明する場合
↑同じ角を減算することを理由とした角の一致を利用する
・直角二等辺三角形を間に持つ図形の鋭角の大きさを求める場合
↑折り返した長方形と同様に直角の減算を利用する
・長方形を折り返した問題で直角三角形の合同を証明する場合
↑平行線の錯覚が等しいことを利用する
・等積変形で高さの等しい三角形を求める場合
↑部分的な三角形の変形を利用する
・等積変形で長方形の分割問題が出された場合
↑面積の求めやすさに着目する
◆確率
⚠️2人が袋から順番に玉を戻さずに取り出し後の1人が特定の玉を取り出す確率を求める場合
↑玉が無くなるまで繰り返すとの指定がなければ各々1回ずつの取り出し
⬇️基礎知識の学習に移ります
《式の計算》
◆単項式と多項式
・定数項：数値だけで作られた項
・単項（単項式）：文字や数値の組で作られた項
・多項式（整式）：単項の和の形で表された式のこと
・同類項をまとめる：分配法則の逆を使って同類項をまとめること
◆多項式の加減乗除
・乗算：数字同士と文字同士を乗算する
・除算：逆数にして分数の形にし数値と文字をそれぞれ約分する
◆文字を使って数を表す
・偶数：2n
・奇数：2n-1
・倍数：［ 3の倍数：3n，4の倍数：4n，…11の倍数：11n］
・3つの連続する自然数：［n，n+1，n+2］
・連続する3つの奇数：［2n-1，2n+1，2n+3］
・連続する3つの偶数：［2n，2n+2，2n+4］
・2けたの自然数：10a+b
◆等式の変形
・ある変数について解く：等式を変形して［変数=～］の形にすること
◆式において累乗を含む加減乗除の計算順序
①累乗付き括弧をひらく
②除算を逆数にする
③乗算を計算する
④加算と減算を計算する
⑤［約分，分配法則，同類項をまとめる］などを行い式を簡単にする
◆式の複雑な計算
・商と剰余の形にする
＊ある変数について解かずに式を変形する
《連立方程式》
◆連立方程式の解き方
・2元1次方程式：2つの文字を含む1次方程式
・・解：方程式を成り立たせる文字の値の組
・連立方程式：2つ以上の方程式を組み合わせたもの
・・解：どの方程式も成り立たせるような文字の値の組
・＊この解を求めることを「連立方程式を解く」という
・加減法：xまたはyの係数をそろえて2つの式を加減して文字を1つ消す
・代入法：片方の式がx=～またはy=～の形の場合、それを他方に代入して文字を1つ消す
《1次関数》
◆概要
・1次関数：y=ax+b：右辺がxの1次式になっている関数yのこと
・定数：特定の値をとることが決まっている数
・定数項：b：定数のみの項
・比例：y=ax：定数項のない1次関数
＊反比例は右辺がxの1次式ではないため、1次関数ではない
・傾き：a：関数が比例する場合のxの係数となる定数を座標概念も含めて「傾き」と呼ぶ
・変化の割合：xが1増えるときのyの増加量で、定数項は無関係かつ常に一定で傾きaと等しい
・切片：1次関数がy軸と交わっている点で、定数項bのこと
＊x軸と交わっている点は傾きの影響を受けるので切片とは別の物
◆式の求め方
・傾きと1点から出す方法
・切片と1点から出す方法
・2点から出す方法は2通り
・・変化の割合から傾きを出し、傾きと1点から式を求める
・・(x,y)2組をそれぞれy=ax+bに代入し、連立方程式を作ってaとbを求める
◆グラフ
・変域：グラフの横の範囲がxの変域、縦の範囲がyの変域
・変域の対角線：1次関数のグラフは必ず変域の長方形の対角線になる
・・傾きが正：変域の長方形の左下と右上の点を端とする
・・傾きが負：変域の長方形の左上と右下の点を端とする
・＊正の場合と比べて、変域の対応が反対になる
◆直線の式
・2元1次方程式：ax+by+c=0：xとy以外は数字が入ることを前提とするため、5元2次方程式ではない
・・x軸に平行な線：y=-c/b：ax+by+c=0をyについて解き、第1項が0の場合の切片を通る直線
・・y軸に平行な線：x=-c/a：ax+by+c=0をxについて解き、第2項が0の場合の交点を通る直線
・座標軸：
・・x軸：y=0
・・y軸：x=0
・直線の交点：式を連立方程式として解いたときの解
《図形》
◆記号
・［△］：三角形
・［▱］：平行四辺形
・［≡］：合同
◆単語の意味
・対辺：ある点や辺と向かい合う辺
・頂点の角度：△ABCのBの角度は∠Bまたは∠ABC（∠CBA）と書く
・記号の順番：複数の辺なら［アルファベット順］→［上から下］→［左から右］→［反時計回り］→［時計回り］の順番を基準とする
・2直線に別の直線が交わる場合
・・対頂角：交わる2直線の向かい合う角
・・錯角：斜め向かいに位置する2組の角
・・同位角：同じ位置関係にある角
・内角：多角形の内側の角
・外角：各辺の延長した線と隣の辺との角
・鈍角：90°より大きく180°未満の角度
◆命題と証明
・命題：正しい（真）か正しくない（偽）が明確に決まる事柄（文章や式）のこと
・証明：ある命題が正しいか既知の事柄を用いて論理的に説明すること
・結論：命題を証明することで得られた答えのこと
・逆証明：命題と証明を入れ換えても成立するか証明すること
・定義：何らかの新しい概念を導入する際の宣言
・仮定：定義を図形の成立または合同の証明につかう場合の呼称
・性質：定義から証明を用いて導くもの
・条件：性質を図形の成立または合同の証明につかう場合の呼称
・反例：命題の仮定や条件を満たしているが結論を満たしていない例
・共通：辺や角が完全に重なり合って一致しているもの
・合同：図形が同じ形であること（記号を頂点順にたどって示す）
・帰着：ある命題を別の命題に変換し、元の命題の解決が変換先の命題の解決と等価であること
◆証明手順
・証明したい命題に対応する仮定や条件は命題に属する部分に変換調整する必要がある
・・例：平行線
◆交差と平行と三角形
・定義
・・交わる2直線の対頂角は等しい
・・平行な2直線に交わる直線の［錯覚，同位角］がそれぞれ等しい
・性質1：ある頂点の対辺平行線による頂点角と錯角の合計による証明より
・・三角形の内角の和は180°
・性質2：外角頂点の対辺平行線による同位角と錯覚の合計による証明より
・・三角形の1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい
・性質3：性質2より内角の和の2倍に相当するとの証明より
・・三角形の外角の和は360°になる
・性質4：性質1およびn角形は(n-2)個の三角形分割の証明より
・・n角形の内角の和は180(n-2)になる
・性質5：性質4および内角外角和合計から内角和減算の証明より
・・多角形の外角の和は360°になる
・性質6：三角形の面積の公式より
・・等積変形：底辺の長さと高さがそれぞれ等しければ面積は等しくなる
・・面積比：高さが等しければ底辺の長さの比が面積の比と等しくなる
・・＊逆も成立する
◆正三角形
・定義
・・3辺が等しい三角形
・性質：内角の和による証明より
・・3つの角がそれぞれ60°である
◆二等辺三角形
・定義
・・2辺が等しい三角形
・部分名称
・・頂角：等しい2辺の間の角
・・底角：頂角以外の2角
・・底辺：頂角の対辺
・性質：頂角の二等分線による証明より
・・底角が等しい
・・頂角の二等分線は底辺を垂直に2等分する
◆直角三角形
・定義
・・1つの角が直角の三角形
・部分名称
・・斜辺：直角の対辺
・・鋭角：90°より小さい角度
・・直角：90°
・条件：斜辺以外の1辺折り重ねによる証明より
・・斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しい
・・斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい
◆四角形の概要
・四角形：4つの直線に囲まれた平面の一部
・・台形：1組の対辺が平行な四角形
・・・等脚台形：1つの底辺の両端の内角が等しい台形
・・・平行四辺形：2組の対辺がそれぞれ平行な台形
・・・・長方形：内角がすべて90°の平行四辺形
・・・・ひし形：すべての辺の長さが等しい平行四辺形
・・・・・正方形：内角がすべて90°のひし形
◆等脚台形
・定義
・・1つの底辺の両端の内角が等しい台形
・性質1：1つの対角線を辺に持つ重なる三角形の合同による証明より
・・他方の底辺の両端の内角は等しい
・性質2：性質1および二等辺三角形の性質による証明より
・・対角線は底辺の中点の垂線上で交わる
◆平行四辺形
・定義
・・2組の対辺がそれぞれ平行な台形
・部分名称
・・対角：対角線の両端の頂点が担う図形上の角度
・性質1：1つの対角線を辺に持つ三角形の合同による証明より
・・2組の対辺はそれぞれ等しい
・・2組の対角はそれぞれ等しい
・性質2：性質1と平行な2直線の定義による証明より
・・対角線はそれぞれの中点で交わる
・性質3：性質1および対角線の共通による証明より
・・1組の対辺が平行でその長さが等しい
◆ひし形
・定義
・・すべての辺の長さが等しい平行四辺形
・性質1：平行四辺形の性質1および対角線で折り返した三角形の合同による証明より
・・2本の対角線は垂直に交わる
*《確率》
◆概要
・結果が偶然による実験などを行なう場合、あることがらがおこると期待される程度を数で表したもの
◆求め方
・求めたいことがらの起こる場合の数を起こりうるすべての場合の数で除算する
◆性質
・同様に確からしい：起こりうる結果のそれぞれが同じ程度に期待できる場合、それぞれの結果が起こること
↑確率では［サイコロ，コイン，カード，くじ］など同様に確からしい場合のみ扱う
↑対象物による違いを把握しておく
・確率がpの場合、同じ実験を数多く繰り返すと、そのことがらの起こる相対度数がpに近づいていく
・確率pの値の範囲は0≦p≦1となる
《四分位範囲と箱ひげ図》
◆四分位数：データを4分割する位置にある値
・第2四分位数(Q2)：中央値
・下位データ：第2四分位数で区切られた下位側のデータ
・上位データ：第2四分位数で区切られた上位側のデータ
・第1四分位数(Q1)：先頭から1/4の位置の値で下位データの中央値
・第3四分位数(Q3)：末尾から1/4の位置の値で上位データの中央値
＊データの大きさが偶数の場合、中央値部分は下位上位双方のデータに含める
＊データ個数からの計算で中央値を求める場合、肝となるのは「プログラム添え字のように0開始ではなく1開始」と「下位上位認定が第1四分位数と第3四分位数の位置に影響する」の2つである
◆データ分割の仕組み
・データ1個から順番に見ていく
①2個では1個ずつに分割できる
②3個では1個ずつに分割できる
③4個では2個ずつに分割できるので続きは①のとおり
④5個では2個ずつに分割できるので続きは①のとおり
：
＊データの分割はデータ個数［2の倍数］を基準として変化する
＊奇数は-1して偶数の形で分割するので③④のように繰り返しになる
◆四分位範囲
・第3四分位数から第1四分位数を引いた差
・データを値の大きさ順に並べた時の中央50%のデータの範囲にほぼ等しいため極端に離れた値の影響が小さい
◆四分位範囲の詳細な計算
・データ個数：n
・分布の範囲：n - 1
・下位上位認定による両データ端までの誤差：k［偶数で0.5，奇数で1］
・①第1四分位数と第3四分位数の左右合計範囲を4等分する
・・$\frac {n - 1 - 2k} 4 = \frac {n - 1} 4 - \frac k 2$
・②①にkを加算して中央値から第1四分位数（第3四分位数）までの範囲を求める
・・$\frac {n - 1} 4 - \frac k 2 + k = \frac {n - 1} 4 + \frac k 2$
・③②を2倍して四分位範囲を求める
・・$\frac {n - 1} 2 + k$
＊四分位範囲が$\frac {n - 1} 2$なら［分布の範囲の半分］なので、完全な中央50%と説明できるが、③のようにkが影響するため完全ではない
＊データ個数が大きくなるほどkの影響は小さくなるので、中央50%のデータの範囲に収束していく
◆箱ひげ図
・データの［最小値，第1四分位数，中央値(第2四分位数)，第3四分位数，最大値，平均値］を箱とひげで表した図
・ヒストグラムと関連付けて対応を調べる場合がある